専門学校と大学で学ぶ違いがよくわかりません。

まず、大学と専門学校の違いですが、一言で言えば、大学は、理論重視で、専門学校は、実技重視ということです。即戦力でいえば、専門学校卒、長期的な視点でみれば、大学卒といったところです。

一般には、病院に就職した際、大学卒と専門学校卒では、1万円前後給与が違ってきます。収入面で、大学卒が有利なため、人によっては専門学校卒業後、大学へ3年次編入で入学する看護師さんもいらっしゃいます。話を聞くとやはり、収入面で不利だからという本音があるようです。

大丈夫かどうかはわかりませんが、取り巻くさまざまな状況に照らして、進路を決めるしかなさそうですね。
経済上の理由で私立が難しいとなれば、専門学校に進学して、卒業後、どうしても大卒の資格がほしいのであれば、しばらく働いた後に、自分でお金をためて、大学3年次への編入もありだと思います。
ご両親のおっしゃるように、看護師になるには、専門学校でも十分といえば十分ですし、決して間違ってはいません。
簡単には決定しかねる案件だと思いますが、いずれにしても受験はありますので、勉強を第一に進めながら、じっくり検討するのが良いのではないでしょうか。